matematická krása ulit

Eadem mutata, resurgo…

Základní zákony fyziky a geometrie, precizně dodržené plžem při růstu jeho vlastní ulity… Je potřeba dalších důkazů, že před neuvěřitelnou silou, spletitostí, komplexicitou a prozatím z velké části nepoznaností přírodních zákonů tohoto světa se nelze nesklonit? Fibonacciho posloupnost, logaritmická spirála, šneci…

Logaritmická spirála

Descartes, 1638

V roce 1838 zjistil Moseley roli exponenciální funkce v růstu ulit. V roce 1917 byl nalezen (D’Arcy 1945) seznam tří parametrů popisů téměř jakýkoli tvar: konstantní úhel equiangulární spirály, úhel mezi spirálovou osou a dotyčnicí ke spirálami, úhel zpomalení, měřící překryv mezi spirálami. V roce 1962 (Raup, 1962) Raup matematický model definující ulitu mušle jako obálku generující křivky, která se otáčela kolem osy a překládala ve směru této osy a postupně se zvětšovala. Tato definice použila čtyři parametry: 

– Tvar generační (uzavřený) křivky, dále nazývaná clona – Shape of a generic (closed) curve, also called a curtain.
– Poloha křivky relativně k ose- Position of the curve relative to the axis.
– Rychlost nárůstu křivky- Rate of curve increase.
– Křivka překladu podél osy- Translation curve along the axis.

Základní prvky, které vytvářejí tento spirální růst, jsou neurčené, stejně jako rozdíly mezi druhy zohledňují různé spirály (Rice, 1998). Je to neurální aktivita, která řídí množství a směr, ve kterém je vylučován obalový materiál. Neurální aktivita podél pláště určuje rychlost lokální sekrece a tím i úhel a velikost vektorů růstu (Boettigera, Ermentroutb a Oster 2009). Některé typy modelů lze pořizovat na 3D tiskárně, a vytiskne se v kvalitě GEM (dokonalá) (De Comit’e, nedatováno).

Šneci a počítačové modelování

Vedle nádhery spirály, kterou vytváří ulita, jsou plži fascinující i prostorovým růstem savých ulit – růstem, který je možné matematicky modelovat.

Raup a další

Raup v roce 1962 vyvinul čtyřparametrový počítačový model, který na osciloskopu generoval „digitální plášť“. Parametry jsou poměr velikostí (W) po sobě jdoucích generujících křivek, vzdálenost (D) generující křivky od osy a podíl (T) výšky jedné generující křivky, kterou pokrývá každá následující otočka. Nastavením W a T vzniknou tvary připomínající mlže ústřice , zahradní šneky a piskoře. Většina teoretických forem ulit se v přírodě nevyskytuje. (Raup v roce 1962). Přesto byly matematické modely růstu ulit v 90. letech 20. století zpochybněny. (Hutchinson v roce 1989).

Další faktory

Škálovací exponent tloušťky skořápky jako morfologický parametr. Škálovací exponent má drastický vliv na optimální návrh tvaru skořápky. Jednotný způsob je výsledkem optimálního využití zdrojů materiálu skořápky, zatímco izometrický růst tloušťky vede k nemožně těsnému svinování (Okabe, Yoshimura, 2017). Savazzi v roce 1985 vyvinul simulátor SHELLGEN, který k modelování ontogeneze schránek měkkýšů využívá přibližné diferenční rovnice. (Savazzi, 1985).

Obvyklé tvary

Variabilita tvaru schránek suchozemských měkkýšů má velkou genetickou složku. Větší plži jsou často spojeni s vlhčími podmínkami. Relativní plocha apertury bývá v sušších podmínkách menší. Větší plži mají tendenci mít vyšší rychlost rozšiřování závitů. Relativní výška ulity u jednotlivých druhů plžů souvisí s úhlem substrátu, na kterém probíhá činnost. (Goodfriend, 1986)

References:

Boettigera, Alistair, Ermentroutb, Bard, and Oster, George (2009).The neural origins of shell structure and pattern in aquatic mollusks. PNAS Vol. 106, no.16, pp. 6837–6842. doi 10.1073.pnas.0810311106

D’Arcy Wentworth Thompson (1945). On Growth and Form. Cambridge University Press.

De Comit´e (nedatováno). Francesco University of Lille, Sciences and Technology. 3D Modelling Seashells. This work was supported by European funds through the program FEDER SCV-IrDIVE and by French National Research Agency (ANR-11-EQPX-0023).

Hilton, P., Holton, D. and Pedersen, J. (1997) Mathematical Reflections in a Room with Many Mirrors. Pp. 2-3. New York: Springer-Verlag.

Moseley, H. (1938). On the geometrical forms of turbinated and discoid shells. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 128:351–370, 1838.

Raup, David M. (1962). Computer as aid in describing form in gastropod shells. Science, Vol. 138 (3537), pp. 150–152.

Rice, S. (1998). The bio-geometry of mollusc shells. Paleobiology Vol. 24, pp. 133–149.

Weisstein, Eric W. „Logarithmic Spiral.“ From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicSpiral.html

Goodfriend, Glenn A. (1986). Variation in Land-snail Shell form and Size and its Causes: a Review. Systematic Biology. Vol. 35. Iss. 2, pp. 204–223, doi.org/10.1093/sysbio/35.2.204

Hutchinson, J. M. C. (1989). Control of Gastropod Shell Shape; The Role of the Preceding Whorl. J. theor. Biol. Vol. 140, pp. 431-444.

Liew T-S, Schilthuizen M (2016) A Method for Quantifying, Visualising, and Analysing Gastropod Shell Form. PLoS ONE 11(6): e0157069. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0157069

Okabe, Takuya & Yoshimura, Jin. (2017). Optimal designs of mollusk shells from bivalves to snails. Scientific Reports. 7. 42445. 10.1038/srep42445.

Ramsden, Phil (2009). „Shell Space: Flare, Verm, and Spire“ from the Wolfram Demonstrations Project. http://demonstrations.wolfram.com/ShellSpaceFlareVermAndSpire/

Raup, David M. (1962). Computer as Aid in Describing Form in Gastropod Shells. Science (New York, N.Y.). 138. 150-2. 10.1126/science.138.3537.150.

Resman, Jayna, Winerip, Michelle, Cowdery, Elizabeth and Reed-Harris, Allison (2011). „Shell Parameter Space“.  http://demonstrations.wolfram.com/ShellParameterSpace/ .  Wolfram